חקירה מלאה של פונקציה עם a בחזקת x (ללא סרטון)חקירת פונקציית e – 572 · שיעור 35

חקירת פונקציית e – 572

שיעור 35 – חקירה מלאה של פונקציה עם a בחזקת x (ללא סרטון)

חקירת פונקציה מעריכית a בחזקת x

1נוסח השאלה

2סעיף א – תחום הגדרה וחיתוך עם הצירים

3סעיף ב – אסימפטוטות

4סעיף ג – קיצון, עלייה וירידה

5סעיף ד – סקיצה

6סעיף ה – שטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 4^x − 2^{x + 2} .

א. מה תחום ההגדרה? מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ב. מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים.

ג. מצאו את נקודות הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

📄 נוסח השאלה · המשך

ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה־x וציר ה־y.

סעיף א – תחום הגדרה וחיתוך עם הצירים

אין מכנה ואין שורש, ולכן הפונקציה מוגדרת לכל x.

ציר ה־y – נציב x = 0 :

f(0) = 4⁰ − 2^{0 + 2} = 1 − 4 = −3

ציר ה־x – נציב y = 0 :

4^x = 2^{x + 2}

נכתוב את 4 כחזקה של 2:

סעיף א – תחום הגדרה וחיתוך עם הצירים · המשך

נכתוב את 4 כחזקה של 2:

(2²)^x = 2^2x

📐 חזקה של חזקה

2^2x = 2^{x + 2} ⇒ 2x = x + 2

📐 משוואה עם בסיסים שווים

x = 2

✅ פתרון סופי: כל x ; (0 , −3) , (2 , 0)

📐 חזקה של חזקה

(a^m)ⁿ = a^{m · n}

📐 משוואה עם בסיסים שווים

a^f(x) = a^g(x) ⇒ f(x) = g(x)

סעיף ב – אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית: אין, כי הפונקציה מוגדרת לכל x.

אופקית – כאשר x → −∞ :

4^x → 0 , 2^{x + 2} → 0 ⇒ f(x) → 0

כאשר x → ∞ החזקה 4^x גדלה מהר יותר, והערכים שואפים ל־∞.

✅ פתרון סופי: y = 0 (כאשר x → −∞)

סעיף ג – קיצון, עלייה וירידה

f′(x) = 4^x · ln 4 − 2^{x + 2} · ln 2

📐 נגזרת של ag(x)

נשווה ל־0:

4^x · ln 4 − 2^{x + 2} · ln 2 = 0

נכתוב הכול עם 2^x :

ln 4 = ln 2² = 2 ln 2

📐 לוגריתם של חזקה

2^{x + 2} = 2^x · 2² = 4 · 2^x

📐 כפל חזקות עם אותו בסיס

📐 נגזרת של ag(x)

[a^g(x)]′ = a^g(x) · ln a · g′(x)

📐 לוגריתם של חזקה

ln aⁿ = n · ln a

📐 כפל חזקות עם אותו בסיס

a^m · aⁿ = a^{m + n}

סעיף ג – קיצון, עלייה וירידה · המשך

2^{x + 2} = 2^x · 2² = 4 · 2^x

📐 כפל חזקות עם אותו בסיס

2 ln 2 · (2^x)² − 4 ln 2 · 2^x = 0

נוציא גורם משותף 2 ln 2 · 2^x :

2 ln 2 · 2^x · (2^x − 2) = 0

2^x − 2 = 0

📐 מכפלה שווה 0

כי 2^x > 0 וגם ln 2 > 0 – רק הסוגריים יכולים להתאפס.

📐 כפל חזקות עם אותו בסיס

a^m · aⁿ = a^{m + n}

📐 מכפלה שווה 0

מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

סעיף ג – קיצון, עלייה וירידה · המשך

כי 2^x > 0 וגם ln 2 > 0 – רק הסוגריים יכולים להתאפס.

2^x = 2 ⇒ x = 1

נציב x = 1 בפונקציה:

f(1) = 4¹ − 2^{1 + 2} = 4 − 8 = −4

סוג הנקודה – נציב בנגזרת ערך מכל צד:

x	0	1	2
f′(x)	−	0	+
f(x)	↘	min	↗

סעיף ג – קיצון, עלייה וירידה · המשך

x	0	1	2
f′(x)	−	0	+
f(x)	↘	min	↗

נציב x = 0 ו־x = 2 בנגזרת:

f′(0) = 4⁰ · ln 4 − 2^{0 + 2} · ln 2

f′(0) = 2 ln 2 − 4 ln 2 < 0

📐 עלייה וירידה

f′(2) = 4² · ln 4 − 2^{2 + 2} · ln 2

f′(2) = 32 ln 2 − 16 ln 2 > 0

📐 עלייה וירידה

f′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘

סעיף ג – קיצון, עלייה וירידה · המשך

f′(2) = 32 ln 2 − 16 ln 2 > 0

✅ פתרון סופי: min (1 , −4) ; יורדת x < 1 , עולה x > 1

סעיף ד – סקיצה

הגרף בכחול. בצד שמאל הוא מתקרב לציר ה־x מלמטה, יורד עד המינימום (1 , −4) , ואחר כך עולה וחותך את ציר ה־x ב־(2 , 0).

✅ פתרון סופי: ראו סרטוט

סעיף ה – שטח

בין x = 0 ל־x = 2 הגרף מתחת לציר ה־x , ולכן הגרף העליון הוא הציר y = 0 :

S = ∫₀² [0 − f(x)] dx

📐 שטח בעזרת אינטגרל

S = ∫₀² (2^{x + 2} − 4^x) dx

נמצא פונקציה קדומה:

∫ 2^{x + 2} dx = 2^{x + 2}ln 2

📐 אינטגרל של amx + n

∫ 4^x dx = 4^xln 4

📐 אינטגרל של ax

📐 שטח בעזרת אינטגרל

S = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx
f(x) הגרף העליון

📐 אינטגרל של amx + n

∫ a^{mx + n} dx = a^{mx + n}m · ln a + C

📐 אינטגרל של ax

∫ a^x dx = a^xln a + C

סעיף ה – שטח · המשך

∫ 4^x dx = 4^xln 4

📐 אינטגרל של ax

F(x) = 2^{x + 2}ln 2 − 4^xln 4

נציב x = 2 ונשתמש ב־ln 4 = 2 ln 2 :

F(2) = 2^{2 + 2}ln 2 − 4²ln 4

F(2) = 16ln 2 − 8ln 2 = 8ln 2

נציב x = 0 :

📐 אינטגרל של ax

∫ a^x dx = a^xln a + C

סעיף ה – שטח · המשך

נציב x = 0 :

F(0) = 2^{0 + 2}ln 2 − 4⁰ln 4

F(0) = 4ln 2 − 0.5ln 2 = 3.5ln 2

S = F(2) − F(0) = 8ln 2 − 3.5ln 2

📐 ניוטון־לייבניץ

S = 4.5ln 2 = 92 ln 2 ≈ 6.49

✅ פתרון סופי: S = 92 ln 2 ≈ 6.49

📐 ניוטון־לייבניץ

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

📌 סיכום התשובות

(0 , −3) , (2 , 0)

y = 0

min (1 , −4)

תחומים

עולה x > 1 , יורדת x < 1

S ≈ 6.49

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא